روش عددی برای حل گرادیان کرنش مرتبه بالا

در مکانیک کلاسیک، طبق رابطه هوک تنش تنها تابعی خطی از کرنش است. در مقابل در تئوری گرادیان کرنش تنش نه تنها تابعی از کرنش، بلکه تابعی از مشتقات بالای کرنش نیز می باشد. روابط جدید بین تنش و کرنش و همچنین شرایط مرزی جدید با استفاده ازاصل مینیموم انرژی پتانسیل کل استخراج شده است. در این میان تانسور تنش جدیدی بنام تانسور تنش معادل معرفی شده که می توان آن را بعنوان تانسور تنش کل در معادله ممنتوم استفاده نمود. همچنین پارامتری به نام پارامتر اثر طول معرفی می گردد که ماهیت آماری داشته و در معادلات غیر خطی و تغییر شکل های بزرگ ماده ظاهرمی شود. در این مقاله می خواهیم مقدار تنش کل را با استفاده از محاسبه مشتقات بالای کرنش حساب کنیم دلیل این امر این است که نرم افزارهای تجاری که در بازار در اختیار کاربر قرار دارد، فقط پیوستگی در مقدار را برای کاربر فراهم می کند, این امر موجب می شود نتایج بدست آمده از این برنامه های تجاری با نتایج واقعی تفاوت داشته باشد. برای محاسبه مشتقات بالای تانسور کرنش به روش عددی ابتدا هر یک از اجزای تانسور کرنش را بر اساس یک تابع درجه دوم تخمین می زنیم سپس از گره هائی که در دو المان مجاور مشترک هستند این تابع را عبور می دهیم, بدین صورت که از تمامی گره هائی که متعلق به دو المان هستند عبور کند و در پایان با استفاده از روش عددی حداقل مربعات مشتقات بالای تانسور کرنش محاسبه و با جاگذاری این مقادیر در معادله تنش معادل مقدار هر یک از اجزای تانسور تنش کلی به دست می آید. در پایان, نتایج حاصله از حل عددی با نتایج بدست آمده از حل تحلیلی مقایسه و نشان داده می شود روش ابداعی بر خلاف ظاهر ساده، بسیار کار آمد می باشد.

Keywords:

تئوری گرادیان کرنش , مینیموم انرژی پتانسیل کل , تانسور تنش معادل , پارامتر اثر طول , روش حداقل مربعات