یک رویکرد ترکیبیاتی از قضیه ویلسون برای گروه‌های آبلی متناهی

در این مقاله قصد داریم با استفاده از استدلال‌های شمارشی ساده و غیرمستقیم، بدون استفاده از قضایایی چون لاگرانژ و کوشی یا حتی مفاهیم اساسی جبر مانند زیرگروه، گروهِ خارج‌قسمت یا همریختی، نتایجی در نظریۀ گروه‌ها به‌دست آوریم. یادآوری می‌کنیم که بر اساس قضیۀ ویلسون اگر ‎$p$‎ عددی اول باشد آن‌گاه ‎$(p-1)!equiv‎ -‎1~~(mathrm{mod}‎ ~‎~p)$‎که در آن ‎$(p-1)!$‎ حاصل‌ضرب یکال‌ها به پیمانه ‎$p$‎ است. این مسئله در حالت کلی مطالعه شده است و به این ترتیب این سوال مطرح شده است: برای گروه آبلی متناهی دلخواه ‎$G$‎، دربارۀ حاصل‌ضرب همۀ عناصر ‎$G$‎ چه می‌توان گفت؟ هر چند جواب سوال مشخص است، اما پیدا کردن آن در یک کتاب درسی استاندارد سخت است. لذا رویکرد خودمان را ارائه نموده و برای رویکرد دیگران مراجع مناسبی معرفی می‌کنیم. ‎

Keywords:

قضیۀ ویلسون , قضیۀ اویلر , گروه آبلی , اصل لانۀ کبوتری تعمیم یافته