بررسی نتایجی جدید در مورد اعداد تام فرد

در حال حاضر دو سوال اساسی در مورد اعداد تام مطرح است که ریاضیدانان نمی توانند به آنها پاسخ دهند؛ اول اینکه معلوم نیست آیا عدد تام فردی وجود دارد یا نه. دوم اینکه مشخص نیست که آیا تعداد اعداد تام نامتناهی است یا نه. یک طریق پرداختن به سوال آخری این خواهد بود که نشان دهیم تعداد نامتناهی عدد اول مرسن وجود دارد. ولی هنوز درستی این روش به اثبات نرسیده است. در مورد پاسخ سوال اول در این مقاله سعی شده است که یک بازنگری در مورد نتیجه 1953 تاوچر (Touchard) انجام شود. تاوچر نشان داد که هر عدد تام فرد باید به فرم 12m+1 یا 36m+9 باشد ما برهان جدید تری برای این قضیه می آوریم. نیز نشان خواهیم داد که هیچ عدد تام فرد به فرم N=Pnqm وجود ندارد که p و q عدد اول و n و m طبیعی اند، یعنی عدد تام فرد باید عوامل اول متمایزش بیشتر از 3 عامل باشد.