رتبه تانسور و مسئله بهترین تقریب رتبه پایین

رتبه یکی از مشخصه های مهم  هر ماتریس است. رتبه ماتریس A عبارت است از کوچک ترین عدد صحیح r به طوری که A را بتوان با استفاده از مجموع r ماتریس رتبه یک نوشت. رتبه ماتریس را می توان با استفاده از روش حذف گاوسی یا تجزیه پلکانی به دست آورد. رتبه تانسور ‎A  عبارت است از کوچک ترین عدد صحیح ‎ r به طوری که ‎ A  به وسیله مجموع  ‎  r  تانسور رتبه یک ایجاد شود. برخلاف رتبه ماتریس،  رتبه تانسور  به راحتی قابل محاسبه نیست، چنان که به جز در مواردی خاص، مسئله ای NP - سخت است.  تاکنون مطالعات گسترده ای در زمینه محاسبه رتبه تانسورهای ۲×۲× ۲ انجام گرفته است و چندین روش شامل محاسبه ابردترمینان، بررسی ساختار درونی تانسور و نیز طبقه بندی تانسور به صورت های کانونی  ارائه شده اند. یک مسئله اساسی در کار با ماتریس و تانسورها،  محاسبه بهترین تقریب رتبه پایین است. طبق قضیه اکارت-یانگ، بهترین تقریب رتبه k در ماتریس ها با مجموع k عامل از تجزیه مقدار تکین قابل محاسبه است. به علاوه، برای یک ماتریس، محاسبه بهترین تقریب رتبه  k+۱ با استفاده از بهترین تقریب رتبه k، امکان پذیراست. اما برخلاف ماتریس ها،  ممکن است بسیاری از تانسورها   تقریب رتبه پایین مشخص شده ای نداشته باشند.   این مسئله ای  تبهگن  است   و این تانسورها  را  می توان  با دنباله ای از تانسورهای رتبه پایین، به قدر کافی نزدیک، تقریب زد.

Keywords:

جبر چندخطی عددی- تانسور , رتبه تانسور , تقریب رتبه پایین , تجزیه تانسور