مشتقات و ضرایب پایداری طولی

# مقدمه: چرا مشتقات پایداری؟

در معادلات پرواز، نیروها و گشتاورهای آیرودینامیکی توابع غیرخطی از متغیرهای پرواز (سرعت، زاویه حمله، زاویه جانبی و ...) هستند. برای خطی سازی معادلات حول یک نقطه کار (تریم)، از بسط سری تیلور استفاده می کنیم. مشتقات جزئی این بسط ها، مشتقات پایداری نامیده می شوند.

# قرارداد علامت گذاری

· نیروها: X (جلوبرنده/عرضی)، Y (جانبی)، Z (عمودی).

· گشتاورها: L (غلطش - حول X)، M (پیچش - حول Y)، N (انحراف - حول Z).

· متغیرها: u (اغتشاش سرعت طولی)، v (سرعت جانبی)، w (سرعت عمودی)، p (نرخ غلطش)، q (نرخ پیچش)، r (نرخ انحراف).

· فرم مشتق: C_A_x یعنی مشتق ضریب A نسبت به متغیر x. 

مثال: C_L_alpha یعنی مشتق ضریب نیروی برآ (C_L) نسبت به زاویه حمله (alpha).

بخش اول: مشتقات و پایداری طولی (Longitudinal)

معادلات طولی شامل نیروهای X و Z و گشتاور پیچشی M هستند. متغیرهای طولی: u, w, q, theta (و alpha).

2.1. مشتقات مربوط به نیروی محوری X

· C_X_u (مشتق میرایی سرعت): تغییرات نیروی X بر حسب تغییرات سرعت طولی. عمدتا به دلیل تغییرات تراست و پسای موثر.

· C_X_alpha (مشتق زاویه حمله): تغییرات نیروی X بر حسب alpha. در زوایای کوچک، تقریبا کوچک است.

· C_X_q و C_X_alpha_dot: معمولا در معادلات طولی ناچیز فرض شده و صفر در نظر گرفته می شوند.

2.2. مشتقات مربوط به نیروی عمودی Z

· C_Z_u: تغییرات نیروی عمودی بر حسب سرعت. وابسته به ماخ و عدد رینولدز.

· C_Z_alpha (مشتق برآ-حمله): مهم ترین مشتق طولی.

 C_Z_alpha = - ( C_L_alpha + C_D_0 ) تقریبا برابر با -C_L_alpha

 علامت منفی به دلیل قرارداد محورها (Z به سمت پایین مثبت است).

· C_Z_q (مشتق میرایی پیچش): تغییرات نیروی Z به دلیل نرخ پیچش q. این مشتق به دلیل تغییر در زاویه حمله موثر دم (Tail) ایجاد می شود.

 C_Z_q = -2 * eta * V_H * ( l_t / c_bar ) * C_L_alpha_t

 که در آن V_H نسبت حجم دم، l_t بازوی دم، c_bar وتر متوسط آیرودینامیکی و C_L_alpha_t شیب منحنی برآ دم است.

· C_Z_alpha_dot (مشتق تاخیر پایین دست): تغییرات نیروی Z به دلیل نرخ تغییرات زاویه حمله (alpha_dot). این پدیده به دلیل تاخیر در جریان پایین دست (Downwash) روی دم اتفاق می افتد.

 C_Z_alpha_dot = -2 * eta * V_H * ( l_t / c_bar ) * C_L_alpha_t * (d epsilon / d alpha)

 که d epsilon/d alpha مشتق زاویه پایین دست نسبت به alpha است.

2.3. مشتقات مربوط به گشتاور پیچشی M

· C_M_u (مشتق سرعت-پیچش): تغییرات گشتاور پیچش بر حسب سرعت. عامل اصلی پایداری سرعت (Speed Stability). اگر C_M_u < 0 باشد، هواپیما در برابر تغییرات سرعت پایدار است.

· C_M_alpha (مشتق پایداری استاتیکی طولی): مهم ترین معیار پایداری استاتیکی طولی.

 C_M_alpha = C_L_alpha * ( x_cg - x_ac )

 شرط پایداری: C_M_alpha < 0 (یعنی با افزایش alpha، بینی هواپیما باید پایین بیاید).

 · x_cg: مرکز جرم.

 · x_ac: مرکز آیرودینامیک.

· C_M_q (مشتق میرایی پیچش): مهم ترین مشتق دینامیکی طولی. این مشتق همیشه منفی است و نوسانات پیچشی را میراکند.

 C_M_q = -2 * eta * V_H * ( l_t / c_bar ) * C_L_alpha_t

· C_M_alpha_dot (مشتق تاخیر پایین دست):

 C_M_alpha_dot = -2 * eta * V_H * ( l_t / c_bar ) * C_L_alpha_t * (d epsilon / d alpha)

 این مشتق نیز معمولا منفی است و به پایداری کمک می کند.

2.4. مشتقات کنترلی طولی

کنترل طولی عمدتا توسط الواتور (Elevator) یا استابلایزر انجام می شود.

· C_Z_delta_e: تغییرات نیروی Z بر حسب انحراف الواتور.

· C_M_delta_e (قدرت کنترل):

 C_M_delta_e = - eta * V_H * C_L_delta_e

 که C_L_delta_e مشتق برآی دم نسبت به زاویه الواتور است. این مقدار همیشه منفی است.