حلقه ها در جبر مجرد

یک حلقه جابجایی (نابدیهی) که در آن هر عنصر ناصفر معکوس ضربی داشته باشد را میدان گویند.گروه جمعی یک حلقه صرفا مجهز به جمع است. گرچه که تعریف حلقه فرض را بر این می گیرد که گروه جمعی آبلی است، اما این مسئله (آبلی بودن گروه جمعی) را می توان از دیگر اصول موضوعه های حلقه استنباط کرد (یعنی یک اصول موضوعه مستقل نیست).[۶] اثبات نکته اخیر از طریق فرض وجود عنصر "1📷" است، پس اثبات آن در rng قابل استفاده نیست (در مورد رانگ ها، حذف فرض جابجایی بودن جمع، باعث می شود که جابجایی بودن ضرب عناصر، یعنی ab+cd=cd+ab📷 را بتوان از بقیه اصول موضعه استنباط کرد).برخی از مولفین حلقه را بدون فرض شرکت پذیری ضربی تعریف می کنند.[۷] این تعریف کلی یک حلقه (که لزوما شرکت پذیر نباشد، و لزوما یک دار نباشد) هنگامی مفید است که بخواهیم هر جبر را یک حلقه در نظر بگیریم.ویرایشخواص پایه ای
برخی از خواص پایه ای یک حلقه فورا از اصول موضعه بدست می آیند:همانی جمعی، معکوس های ضربی هر عنصر و همانی ضربی، همگی منحصر به فردند.
برای هر عنصری چون x📷 در یک حلقه چون R📷، داریم x0=0=0x📷 (صفر نسبت به ضرب یک عنصر جاذب (جذب کننده) است) و (−1)x=−x📷.
اگر در یک حلقه R📷 داشته باشیم 0=1📷، (یا به طور کلی تر اگر 0📷 یک عنصر معکوس پذیر ضربی باشد)، آنگاه R📷 تنها یک عنصر خواهد داشت، به چنین حلقه ای، حلقه صفر گویند.
فرمول دو جمله ای برای تمام زوج عناصر جابجا شونده (یعنی، هر x📷 و y📷 که در رابطه xy=yx📷 صدق کنند) برقرار است.
ویرایشمثال: اعداد صحیح به هنگ ۴
همچنین رجوع کنید به: حساب پیمانه ایمجموعه Z4={0¯,1¯,2¯,3¯}📷 به عملیات زیر مجهز شده است:جمع x¯+y¯📷 در Z4📷 برابر باقیمانده تقسیم x+y📷 بر ۴ است (چون همیشه x+y📷 از ۸ کوچکتر است، باقیمانده تقسیم آن بر ۴ یا برابر x+y📷 است یا x+y−4📷). به عنوان مثال، 2¯+3¯=1¯📷 و 3¯+3¯=2¯📷.
ضرب x¯⋅y¯📷 در Z4📷 برابر با باقیمانده تقسیم xy📷 بر 4📷 است. برای مثال، 2¯⋅3¯=2¯📷 و 3¯⋅3¯=1¯📷.
آنگاه، Z4📷 یک حلقه است: هر اصل موضوع از اصل موضوع متناظرش در Z📷 بدست آمده و این عنصر را اغلب به صورت "x mod 4" یا x¯📷 نمایش می دهند که با نمادهای 0,1,2,3,4📷 سازگاری دارند. معکوس جمعی هر عنصر مثل x¯📷 در Z4📷 به صورت −x¯📷 است. به عنوان مثال، −3¯=−3¯=1¯📷.

یادداشت هاویرایش

^ a: برخی مولفان تنها نیم گروه بودن حلقه تحت ضرب را الزامی می دانند؛ یعنی نیاز نیست حلقه عنصر همانی ضربی داشته باشد (۱).
^ b: عناصری که معکوس ضربی داشته باشند را یکال گویند. , این مرجع را ببینید: Lang 2002, §II.1, p. 84.
^ c: اصل موضوع بسته بودن پیش از این در تعریف دوتایی بودن عملیات +/• لحاظ شده است؛ لذا برخی مولفین این اصل را حذف می کنند Lang ۲۰۰۲
^ d: انتقال از اعداد صحیح به اعداد گویا با اضافه نمودن کسرها توسط مفهوم «میدان کسرها» تعمیم پیدا می کند.
^ e: بسیاری از مولفان جابجا بودن حلقه را در «اصول موضوعه» حلقه می گنجانند و لذا به چنین حلقه هایی «حلقه های جابجایی»، یا فقط «حلقه» گویند.