حل دقیق ارتعاشات آزاد ورق با استفاده از روابط الاستودینامیک سه بعدی

در این مقاله، حل دقیق سه بعدی برای تحلیل ارتعاشات آزاد ورق ایزوتروپیک و به منظور شناسایی فرکانسهای طبیعی ارائه می شود. در این روش حل، از روابط الاستودینامیک سه بعدی به گونه ای منحصر بفرد استفاده می گردد. بدین ترتیب که ابتدا قانون هوک در شکل مخلوط یا ترکیبی آن (Mixed Form of Hooke’s Law) که به اختصار (MFHL) نامیده می شود، مورد توجه قرار می گیرد. در این شکل خاص از قانون هوک، مولفه های در صفحه (In-Plane) تنسور تنش و همچنین مولفه های خارج صفحه (Out-of-Plane) تنسور کرنش، بر حسب سایر مولفه های تنسور تنش و کرنش نوشته می شوند. سپس با استفاده از بیان لاگرانژی مولفه های تنسور کرنش بر حسب مولفه های میدان تغییر مکان، این کمیات و مولفه های خارج صفحه تنسور تنش به کمک توابع هارمونیک متناسب و سازگار با شرایط مرزی ورق مستطیلی در چهار طرف آن، بر حسب مختصات در صفحه بسط داده می شوند. با جایگذاری این کمیات در قانون هوک و معادلات حرکت، دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اولی حاصل می گردد که حل آن به کمک ماتریس اساسی (Fundamental Matrix) انجام می شود. آنگاه با اعمال شرایط مرزی مربوط به سطوح فوقانی و تحتانی ورق، یک دستگاه معادلات جبری، خطی و همگن به دست م یآید که با صفر قرار دادن دترمینان ضرایب آن، فرکانس های طبیعی و مودهای ارتعاشی قابل حصول می شوند. با این روش، ارتعاشات آزاد ورق مستطیلی دارای تکیه گاه ساده در چهار طرف مورد بررسی قرار گرفته است و فرکانسهای طبیعی بی بعد شده برای نسبتهای متفاوت طول به ضخامت، به دست آورده شده اند. مقایسه نتایج با مراجع معتبر دلالت بر دقت مناسب و کارآیی روش در تحلیل ارتعاشات آزاد دارد. از مزایای این روش می توان به سادگی حل و قابلیت تعمیم برای ورقهای نازک، نسبتاً ضخیم و ضخیم اشاره کرد ضمن اینکه امکان تعمیم جنس ورق به مصالح مرکب نیز مقدور است.